2020/2 - Matriks - Matriks dan Vektor

Contoh soal :
1. Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik standar di R3 merupakan hasil kali dalam !
Jawab :
Misalkan : a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3) dan c(c1, c2, c3) berada dalam R3.
Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam  yaitu :
1. Simetri :
<a, b> = (a.b)
 = (a1b1 + a2b2 + a3b3)
 = (b1a1 + b2a2 + b3a3)
 = <b,a>                (terpenuhi)
 

2. Aditivitas :
<a+b, c> = ((a + b) . c)
= ((a1+b1, a2 + b2, a3 + b3) . (c1, c2, c3))
= ((a1c1 + b1c1) + (a2c2 + b2c2) + (a3c3 + b3c3))
= (a1c1 + a2c2 + a3c3) + (b1c1 + b2c2 + b3c3)
= <a,c> + <b,c>                (terpenuhi)

3. Homogenitas  :
<ka, b> = (ka.b)
 = (ka1b1 + ka2b2 + ka3b3)
= k(a1b1 + a2b2 + a3b3)
= k(a.b)
 = k< a,b >                    (terpenuhi)

4.  Positivitas  :
 <a, a> = (a.a)
             = (a12 + a22 + a32)≥ 0     (terpenuhi)
         dan
         <u,u>  = (a12 + a22 + a32)= 0        u =(0,0,0) = 0    (terpenuhi)

2. Diketahui <u,v> = ad + cf dengan u = (a,b,c) dan
    v = (d,e,f).  Apakah <u,v> tersebut merupakan hasil  kali dalam ?
     Jawab :
Akan ditunjukkan apakah <u,v> memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam  berikut ini :

Simetri
<u,v>  = ad + cf
            = da + fc
            = <v, u>                (terpenuhi)
 2.   Aditivitas
Misalkan w = (g,h,i)
<u + v, w>   = ((a + d, b + e, c + f), (g,h,i))
 = (a + d)g + (c + f)i
 = (ag + ci) + (dg + fi)
    = <u,w> + <v,w>        (terpenuhi)

Homogenitas
 <ku,v>  = (kad + kcf)
                     = k(ad + cf)
                     = k<v,u>                (terpenuhi)
4.   Positivitas
<u ,u>  = (u.u) = (a2 + c2) ≥0        (terpenuhi)
      dan
<u,u> = (a2 + c2) = 0 tidak selalu        u =(0,0,0), karena nilai
u =(0,b,0) dengan b ≠0, maka nilai <u,u> = 0 tidak terpenuhi

Karena aksioma positivitas tidak terpenuhi, maka <u,v> = ad+ cf dengan dengan u = (a,b,c) dan v = (d,e,f) bukan merupakan hasil kali dalam